Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，將△DCB繞點D順時針旋轉45°得到△DGH，HG交AB于點E，連接DE交AC于點F，連接FG．下列結論中正確的有（　　）

①四邊形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5．

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數，推出AE＝EG＝FG＝AF，由此可以一一判斷．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，

∵△DHG是由△DBC旋轉得到，

∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，

在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE,DA=DG

∴AED≌△GED（HL），故②正確，

∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，

∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，

∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF，

∴AE＝EG＝GF＝FA，

∴四邊形AEGF是菱形，故①正確，

∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正確．

∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝AE，

∴BE＞AE，

∴AE＜，

∴CB+FG＜1.5，故④錯誤．

故選：C．