Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上一動點（不與B、C重合）．連接AE，過點E作EF⊥AE，交DC于點F．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，試探究當(dāng)點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）有正方形的性質(zhì)和已知條件證明∠BAE=∠FEC即可證明：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，當(dāng)點E在BC中點位置時，通過證明三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可證明∠BAE=∠EAF．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）E是中點時，∠BAE=∠EAF，
理由如下：
連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，
∵E為BC中點，
∴BE=CE，
∵AB∥DH，
∴∠B=∠ECH，
∵∠AEB=∠CEH，
∴△ABE≌△HCE，
∴AE=EH，
∵EF⊥AH，
∴△AFH是等腰三角形，
∴∠EAF=∠H，
∵AB∥DH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠EAF，
∴當(dāng)點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及等腰三角形的判斷和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的各種判斷方法，此題難度不大．