Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現在結論中，不必證明）

答：結論一： ；

結論二： ；

結論三： ．

（2）若∠B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．

（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）

Answer 1

【答案】（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②當△ADE是等腰三角形時，BD的長為1或2﹣．

【解析】

試題分析：（1）由∠B=∠C，根據等腰三角形的性質可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根據相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；

（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB為等腰直角三角形，則AC=BC=×2=，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根據相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，則有AD：AC=AE：AD，即AD2=AEAC，

AE===AD2，當AD⊥BC，AD最小，且AD=BC=1，此時AE最小為，利用CE=AC﹣AE得到CE的最大值；

②討論：當AD=AE時，則∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，則點D與B重合，不合題意舍去；當EA=ED時，如圖1，則∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，則BD=1；

當DA=DE時，如圖2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD為等腰三角形，則DC=CA=，于是有BD=BC﹣DC=2﹣．

解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴AC=BC=×2=，

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，

∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AEAC，

∴AE===AD2，

當AD最小時，AE最小，此時AD⊥BC，AD=BC=1，

∴AE的最小值為×12=，

∴CE的最大值=﹣=；

②當AD=AE時，

∴∠1=∠AED=45°，

∴∠DAE=90°，

∴點D與B重合，不合題意舍去；

當EA=ED時，如圖1，

∴∠EAD=∠1=45°，

∴AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分BC，

∴BD=1；

當DA=DE時，如圖2，

∵△ADE∽△ACD，

∴DA：AC=DE：DC，

∴DC=CA=，

∴BD=BC﹣DC=2﹣，

∴綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，BD的長為1或2﹣．