Question

（2009•河北）在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M．
（1）如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH；
（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；
（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）本題主要利用重合的性質來證明．
（2）首先要連接MB、MD，然后證明△FBM≌△MDH，從而求出兩角相等，且有一角為90°．
（3）根據（2）的證明過程，中△FBM≌△MDH仍然成立即可證明．
解答：（1）證明：∵四邊形BCGF為正方形
∴BF=BM=MN，∠FBM=90°
∵四邊形CDHN為正方形
∴DM=DH=MN，∠HDM=90°
∵BF=BM=MN，DM=DH=MN
∴BF=BM=DM=DH
∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM
∴△FBM≌△HDM
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90度，
∴FM⊥HM．

（2）證明：連接MB、MD，如圖2，設FM與AC交于點P．
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，
∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=CE=CD=DH（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半），
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：BM=CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°-（∠FMB+∠HMD）-（∠AMB+∠DME），
=180°-（180°-∠FBM）-∠CBM，
=∠FBM-∠CBM，
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．

（3）解：△FMH還是等腰直角三角形．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學生要綜合運用學過的幾何知識來證明．