Question

【題目】我們定義：兩個二次項系數之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點也相同的二次函數互為友好同軸二次函數．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同軸二次函數為y＝﹣x2﹣2x﹣5．

（1）請你寫出y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數；

（2）如圖，二次函數L1：y＝ax2﹣4ax+1與其友好同軸二次函數L2都與y軸交于點A，點B、C分別在L1、L2上，點B，C的橫坐標均為m（0＜m＜2）它們關于L1的對稱軸的對稱點分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣5；（2）

【解析】

（1）根據友好同軸二次函數的定義求出即可；

（2）先根據二次函數L1的解析式得出其友好同軸二次函數L2的函數解析式，代入a＝3，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點B、C、B′、C′的坐標，進而可得出BC、BB′的值，由正方形的性質可得BC＝BB′，即可得出關于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即得結果．

解：（1）∵，1×（）＝2，

∴函數y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數為y＝x2+2x﹣5．

（2）二次函數L1：y＝ax2﹣4ax+1的對稱軸為直線x＝﹣＝2，其友好同軸二次函數L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．

∵a＝3，

∴二次函數L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函數L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，

∴點B的坐標為（m，3m2﹣12m+1），點C的坐標為（m，﹣2m2+8m+1），

∴點B′的坐標為（4﹣m，3m2﹣12m+1），點C′的坐標為（4﹣m，﹣2m2+8m+1），

∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．

∵四邊形BB′C′C為正方形，

∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，

解得：m1＝，m2＝（不合題意，舍去），

∴m的值為．