Question

如圖，已知半圓O的直徑為AB，以AB一邊作正方形ABCD，M是半圓上一點，且CM=CB，連接CO交半圓O于點N．
（1）試判斷直線CM與圓O的位置關系，并證明你的結論；
（2）當關系式MC²=BO•BE成立時，求∠BCE的度數；
（3）若正方形邊長為4，延長CM交BA延長線于點E，試計算出線段EM的長．

Answer 1

解：（1）直線CM與圓O相切．
理由如下：連接OM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OBC=90°，
∵CM=CB，OM=OB，OC=OC，
∴△OCM≌△OCB，
∴∠OMC=∠OBC=90°，
即OM⊥CM，
∵M是半圓上一點，
∴直線CM與圓O相切；

（2）∵CM=CB，MC²=BO•BE，
∴CB²=BO•BE．
∴BC：BO=BE：BC．
∵∠CBE=∠OBC=90°，
∴△BCE∽△BOC．
∴∠BCE=∠BOC．
∵∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCE+∠BCO=90°．
∵CM=CB，
∴C在BM的中垂線上．
∵OM=OB，
∴O在BM的中垂線上．
∴OC垂直平分BM．
∴∠BCO=∠MCO．
∴∠BCE=2∠BCO．
∵∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=60°．

（3）連接AM和BM，
因為M在圓上，AB是直徑，
所以AM⊥BM，
因為四邊形OBCM是軸對稱圖形，
所以BM⊥OC，所以AM∥OC．
因為OB=2，CB=4，
所以OC=2，BM=2OB×CB÷OC=．
因為AB=4，
所以AM=，
AM：OC=EM：EC，AM：OC=EM：（EM+MC），
即AM：OC=EM：（EM+BC），
解得EM=．
分析：（1）直線CM與圓O相切．只要連接OM，證明∠OMC=90°即可．
（2）根據已知及相似三角形的判定方法可得到，△BCE∽△BOC，得出∠BCO=∠E，C在BM的中垂線上，有∠BCO=∠MCO，又∠BCE+∠E=90°，可以得出∠BCE的度數；
（3）先證明AM∥OC，再根據平行線分線段成比例即可計算出線段EM的長．
點評：本題主要考查的是切線的判定定理，相似三角形的判定定理以及正方形的性質，難度中上．