Question

如圖：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點．
（1）如圖1，若E、F分別是AB、AC上的點，且AE=CF．求證：①△AED≌△CFD；②△DEF為等腰直角三角形．
（2）如圖2，點F、E分別D在CA、AB的延長線上，且AE=CF，猜想△DEF是否為等腰直角三角形？如果是請給出證明．

Answer 1

分析：（1）①利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=DC，進而利用全等三角形的判定得出答案；
②利用全等三角形的性質得出DE=DF，∠ADE=∠CDF進而得出△DEF為等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=BD=DC，進而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答：（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠DAC AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；

②∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）△DEF為等腰直角三角形，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D為BC中點
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠C AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，根據已知得出AD=BD=DC是解題關鍵．