Question

已知：如圖，直線y=2x+b與x軸、y軸分別相交于點E、點B（0，3）．
（1）填空：b=

3

；
（2）若直線y=-

1

2

x與直線y=2x+b的交點為A．
①求∠OAB的度數；
②在直線AB的右側作菱形ABCD，現有拋物線y=（x-m）²+n的頂點T在直線y=-

1

2

x上移動，若此拋物線同時與邊AB、AD都相交，試m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于直線y=2x+b的函數圖象經過點B，將點B的坐標代入直線的解析式中，即可確定b的值．
（2）①首先聯立這兩條直線的解析式得到點A的坐標；進一步能求出線段OA、AB的長，OB的長易知，然后根據這三邊的長判斷∠OAB的度數；
②由①知，AB=AD=2OA，那么點O是線段AD的中點，此時發現點A、D關于點O對稱，則點D的坐標可得；通過觀察圖示不難看出，當點T、A重合時，拋物線與線段AB、AD都相交（交于一個公共點A），即m的最小值與點A的橫坐標相同，因此只需判斷m的最大值即可；此時需要分兩步考慮：
Ⅰ、當拋物線的對稱軸左側圖象經過點B時，先求出m的值，即可確定拋物線的解析式，然后再判斷拋物線的圖象是否與線段AD相交，若相交，那么此時的m值即為最大值，若不想交，再考慮下一步；
Ⅱ、當拋物線的對稱軸左側圖象經過點D時，方法同上．

解答：解：（1）由題意知，直線y=2x+b經過點B（0，3），則有：
2×0+b=3，b=3；
故填：3．

（2）①聯立y=-

1

2

x與y=2x+3，得：

y=- 1 2 x y=2x+3

，
解得

x=- 6 5 y= 3 5

則點A（-

6

5

，

3

5

）；
則：OA²=（-

6

5

）²+（

3

5

）²=

9

5

，AB²=（-

6

5

）²+（3-

3

5

）²=

36

5

，OB²=3²=9；
則OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°．
②依題意，點T（m，n）在直線y=-

1

2

x上，那么 n=-

1

2

m，即拋物線的解析式：y=（x-m）²-

1

2

m，點T（m，-

1

2

m）；
在Rt△OBE中，OE=

3

2

，OB=3，∴tan∠OBE=

1

2

，AB=2OA；
由于四邊形ABCD是菱形，那么AD=AB=2OA，即點O是線段AD的中點，則點D（

6

5

，-

3

5

）．
Ⅰ、當點T、A重合時，拋物線同時經過線段AB、AD，此時m=-

6

5

；
Ⅱ、當拋物線的對稱軸左側圖象經過點B時，有：
（0-m）²-

1

2

m=3，解得：m₁=2、m₂=-

3

2

（舍）；
故拋物線：y=（x-2）²-1；
當x=

6

5

時，y=（

6

5

-2）²-1=-

9

25

＞-

3

5

，
所以拋物線只與線段AB相交，不與線段AD相交，不合題意；
Ⅲ、當拋物線的對稱軸左側圖象經過點D時，由Ⅱ知，拋物線的圖象與線段AB、AD都相交；
將點（

6

5

，-

3

5

）代入y=（x-m）²-

1

2

m中，有：
（

6

5

-m）²-

1

2

m=-

3

5

，解得：m₁=

17

10

，m₂=

6

5

（舍）；
綜上，m的取值范圍：-

6

5

≤m≤

17

10

．

點評：此題的難點在于最后一題，解題的關鍵是判斷m取最大、最小值時，拋物線的圖象經過了哪些點；在求m的最大取值時，容易出現錯誤，有些同學很可能將點D的橫坐標直接視為m的最大值，但忽視了拋物線對稱軸左側圖象經過點D時的情況，這就需要通過圖示作出正確的判斷．