Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，點P從A點出發，以1cm/s的速度向D運動，點Q從C點同時出發，以3cm/s的速度向B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）從運動開始，經過多少時間，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（2）設梯形ABQP的面積為y，運動時間為x，寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求當x等于多少時，梯形ABQP的面積是梯形ABCD的一半？

Answer 1

分析：（1）四邊形PQCD成為平行四邊形，即PD=CQ，而PD和CQ都可以用含有時間t的代數式表示，即列方程進行解答．
（2）因為S_梯形ABQP=

1

2

(BQ+AP)×AB，而AB為已知，BQ、AP都可用x表示，所以y與x之間的關系式即可表示出來．
（3）梯形ABCD的面積可根據題中數值進行求解，而梯形ABQP的面積公式由（2）以求得，所以此問只需解方程即可．

解答：解：（1）因為PD∥CQ，所以PD=CQ時，四邊形PDCQ為平行四邊形．
若設t秒后為平行四邊形，此時PD=24-t，CQ=3t，所以
24-t=3t
∴t=6

（2）∵S_梯形ABQP=

1

2

(BQ+AP)×AB
BQ=26-3x，AP=x，AB=8，
∴y=

1

2

(26-3x+x)×8
即y=-8x+104（0≤x≤

26

3

）．

（3）S_梯形ABCD=

1

2

(26+24)×8=200，
由題可知-8x+104=

1

2

(24+26)×8×

1

2

=

1

2

×200=100，
解之得x=

1

2

，
即x=

1

2

時梯形ABQP的面積是梯形ABCD的一半．

點評：此題考查了平行四邊形的判定，以及梯形面積的計算和函數的一些基本知識，涵蓋比較全面，難易適中．