Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)D，與直線y=x交于點(diǎn)M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C。
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；
（3）過點(diǎn)B作圓O的切線交DC的延長線于點(diǎn)P，判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O的半徑為1， ∴點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為 ∵拋物線與直線y=x交于點(diǎn)M，N，且分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C， ∴ ∵點(diǎn)在拋物線上，將的坐標(biāo)代入， 得：，解之，得： ∴拋物線的解析式為：； （2）∵ ∴拋物線的對稱軸為， ∴ 連結(jié)， ∴ ∴ 又， ∴ ∴； （3）點(diǎn)P在拋物線上， 設(shè)過D，C點(diǎn)的直線為： 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：， ∴直線DC為：， 過點(diǎn)B作圓O的切線BP與x軸平行，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 將代入，得：， ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為， 當(dāng)時，， 所以，P點(diǎn)在拋物線上。