Question

已知二次函數y=-x²+mx+n，當x=3時，有最大值4．
（1）求m、n的值．
（2）設這個二次函數的圖象與x軸的交點是A、B，求A、B點的坐標；
（3）當y＜0時，求x軸的取值范圍；
（4）有一圓經過點A、B，且與y軸的正半軸相切于點C，求C點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可設二次函數的頂點式為y=-（x-3）²+4，展開后比較即可求出m、n的值；
（2）解方程x²+6x-5=0，即可求出這個二次函數的圖象與x軸的交點的橫坐標；
（3）根據二次函數y=-x²+6x-5的開口方向及與x軸的交點坐標，即可得出y＜0時，x的取值范圍；
（4）設點C的坐標為（0，b）且b＞0，則圓心的坐標為（r，b），由切線的性質得出r為圓的半徑，根據垂徑定理得出r=3，進而得到圓的方程為：（x-3）²+（y-b）²=3²，然后將（1，0）代入方程得：4+b²=9，解方程即可求出b的值．
解答：解：（1）可得二次函數解析式為：
y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5，
所以可得：m=6，n=-5；

（2）當y=0時有：-x²+6x-5=0，
（x-5）（x-1）=0，
解得：x=1或x=5，
所以可得A、B兩點的坐標為：（1，0），（5，0）；

（3）∵y=-x²+6x-5，
∴開口向下，
∵與x軸的交于點：（1，0），（5，0），
∴當y＜0時，x＜1或x＞5；

（4）設點C的坐標為（0，b） 且b＞0 則有：圓心O坐標為（r，b），
因圓與y軸相切，所以r為圓半徑．
又圓經過A，B兩點，則過圓心作直線垂直于A，B，垂線必交于AB的中點，即（3，0），
所以可得：r=3，
因此可得圓的方程為：（x-3）²+（y-b）²=3²，
將（1，0）代入方程得：4+b²=9，
解得：b=或 b=-（舍去）．
所以點C的坐標為：（0，）
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數的解析式，拋物線的性質，二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系，垂徑定理，圓的方程，綜合性較強，有一定難度．