Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，N是線段BC上一點（不與B﹑C重合），過N作AB的垂線交AB于M，交AC的延長線于E，過C點作半圓O的切線交EM于F，若NC：CF=3：2，則sinB=    ．

Answer 1

【答案】分析：由NC：CF=3：2，設NC=3x，則CF=2x，根據AB為直徑可證BC⊥AE，因為CF為⊙O的切線，故OC⊥CF，利用互余關系可證∠OCB=∠ECF，∠B=∠E，而OB=OC，則∠OCB=∠B，故∠ECF=∠E，EF=CF=2x，同理可證∠FCN=∠FNC，FN=CF=2x，利用∠B=∠E，在Rt△CEN中，求sinE即可．
解答：解：依題意，NC：CF=3：2，設NC=3x，則CF=2x，
∵AB為直徑，∴BC⊥AE，
∵CF為⊙O的切線，∴OC⊥CF，
∵∠OCB+∠BCF=∠BCF+∠ECF=90°，
∴∠OCB=∠ECF，同理可證∠B=∠E，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，
∴∠ECF=∠E，則EF=CF=2x，
同理可證∠FCN=∠FNC，則FN=CF=2x，
∴在Rt△CEN中，sinE===，
∴sinB=sinE=．
故答案為．
點評：本題綜合考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，圓周角定理及解直角三角形的知識．關鍵是判斷等腰三角形，得出直角三角形中直角邊與斜邊的關系．