Question

已知：如圖，正比例函數y=ax的圖象與反比例函數的圖象交于點A（3，2）
（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；
（2）根據圖象回答，在第一象限內，當x取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值；
（3）探索：在x軸上是否存在點P，使△OAP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）將A坐標代入y=ax中，得：2=3a，即a=，
∴正比例函數解析式為y=x，
將A坐標代入y=中，得：2=，即k=6，
∴反比例函數解析式為y=；
（2）將兩函數解析式聯立得：，
解得：或，
∴A（3，2），B（-3，-2），
由函數圖象得：當x＜-3或0＜x＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值；
（3）在x軸上存在點P，使△OAP是等腰三角形，如圖所示：
以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₁與P₂兩點，此時△OAP₁與△OAP₂都為等腰三角形，
∵A（3，2），∴OA==，
∴P₁（-，0），
過A作AC⊥x軸，
∵OA=AP₂，∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
作出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₃，此時AP₃=OP₃，△OAP₃為等腰三角形，
設AP₃=OP₃=a，則P₃C=OC-OP₃=3-a，AC=2，
在Rt△ACP₃中，根據勾股定理得：a²=（3-a）²+2²，即6a=13，
解得：a=，
∴P₃（，0），
綜上，滿足題意的P坐標為（-，0）或（6，0）或（，0）．
分析：（1）將A坐標代入正比例函數y=ax中求出a的值，確定出正比例解析式，將A坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式；
（2）聯立兩函數解析式，求出A與B的坐標，在圖象上找出反比例函數圖象在正比例函數圖象上方時x的范圍即可；
（3）在x軸上存在點P，使△OAP是等腰三角形，分別為以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₁與P₂兩點，此時△OAP₁與△OAP₂都為等腰三角形；作出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₃，此時AP₃=OP₃，△OAP₃為等腰三角形，分別求出坐標即可．
點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：等腰三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，以及待定系數法確定函數解析式，待定系數法是數學中重要的思想方法，學生做題時注意靈活運用．