Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+c過點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過定點(diǎn)F（0，2）的直線l：y＝kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系　 　（＞、＜、＝），并證明你的判斷；

（3）P為y軸上一點(diǎn)，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P（0，m），求自然數(shù)m的值；

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+1；（2）＝,理由見解析；（3）m的值為6．

【解析】

（1）把點(diǎn)（-2，2），（4，5）代入y=ax2+c，即可求解；

（2）設(shè)B （x，x2+1），而F（0，2），

則BF2=x2+（x2+1-2）2=x2+（x2-1）2=（x2+1）2，BC=x2+1，故BF=BC；

（3）當(dāng)m=0時(shí)，則四邊形BCPF為正方形，此時(shí)P點(diǎn)在原點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則CB=CF=PF，則△BCF為等邊三角形，CF=2OF=4，PF=CF=4，即可求解．

解：（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得：，解得：，

所以拋物線解析式為y＝x2+1；

（2）設(shè)B（x，x2+1），而F（0，2），

∴BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2，

∴BF＝x2+1，

∵BC⊥x軸，

∴BC＝x2+1，

∴BF＝BC，

答案為：＝

（3）如圖，m為自然數(shù)，

①當(dāng)點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，

∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

∴CB＝CF＝PF，

而CB＝FB，

∴BC＝CF＝BF，

∴△BCF為等邊三角形，

∴∠BCF＝60°，

∴∠OCF＝30°，

在Rt△OCF中，CF＝2OF＝4，

∴PF＝CF＝4，

∴P（0，6）；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F下方時(shí)，

PF＝BC＝4，而OF＝2，

則OP＝2，故m＝﹣2（舍去）；

③當(dāng)m＝0時(shí)，

FP＝2，但是BC＝4，故不符合要求；

綜上，自然數(shù)m的值為6．