Question

如圖，在六邊形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA，對角線AE與BF相交于點M，BD與CE相交于點N．
（1）觀察圖形，寫出圖中兩個不同形狀的特殊四邊形；
（2）請選擇（1）中的一個結論說明你的理由．

Answer 1

解：（1）矩形ABDE（或BCEF）、菱形BNEM、直角梯形BDEM（或AENB）；
三個特殊四形邊中的兩個

（2）選擇ABDE是矩形．
證明：因為在六邊形中，
因為∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=（6-2）×180°
∴∠AFE=∠FAB=120°，
∴∠EAF=30°，
∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90度．
同理可證∠ABD=∠BDE=90度．
∴四邊形ABDE是矩形．

選擇四邊形BNEM是菱形．
證明：同理可證：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，
∴BM∥NE，BN∥ME．
∴四邊形BNEM是平行四邊形．
∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，
∴△BCN≌△EDN．
∴BN=NE．
∴四邊形BNEM是菱形．

選擇四邊形BCEM是直角梯形．
證明：同理可證：BM∥CE，∠FBC=90°，
又由BC與ME不平行，
得四邊形BCEM是直角梯形．
分析：根據已知條件知道六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AFE=∠EDC=120°，
∴在△AFE中可以求出∠FAE=∠FEA=30°，
同理可以求出圖中的其他相關的度數，例如∠BEC=∠FED=90°=∠FBC=∠ECB，這樣就可以找出圖中的特殊四邊形，
證明也比較容易．
點評：此題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，梯形的性質與判定．