Question

（2013•蒼梧縣二模）如圖，已知CD是⊙O的直徑，AC⊥CD，垂足為C，弦DE∥OA，直線AE，CD相交于點B．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）如果AC=1，BE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證明△ACO≌△AEO，推出∠AEO=∠ACO=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AB、BC，證△BEO∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵DE∥AO，
∴∠COA=∠ODE，∠AOE=∠OED，
∴∠COA=∠AOE，
∵在△ACO和△AEO中

OC=OE ∠COA=∠EOA OA=OA

∴△ACO≌△AEO（SAS），
∴∠AEO=∠ACO，
∵AC⊥CD，
∴∠ACO=90°，
∴∠AEO=90°，
∵OE為半徑，
∴直線AB是⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑是R，
∵△ACO≌△AEO，
∴AC=AE=1，
∴AB=1+2=3，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=

32-12

=2

2

，
∵∠BEO=90°=∠ACO，∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴

OE

AC

=

BO

AB

，
∴

R

1

=

2 2 -R

3

，
R=

2

2

，
即⊙O的半徑是

2

2

．

點評：本題考查了切線判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．