Question

如圖，Rt△ABC（∠ABC=90°）的頂點A是雙曲線與直線y=x+k的在第一象限的交點，C為y=x+k與x軸的交點．若S_△ABO=1，
（1）求出這兩個函數的表達式和△ABC的面積；
（2）點M、N分別在x軸和y軸上，以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據S_△ABO=1，求出k的值，從而得到一次函數與反比例函數的解析式，再根據一次函數解析式求出C點坐標，再將y=x+2和y=組成方程組，求出A點坐標，然后根據三角形的面積公式求出△ABC的面積；
（2）分兩種情況討論，①AN∥MC，AN=MC時，四邊形ANMC為平行四邊形，再求出M、N的坐標；②MN∥AC，MN=AC時，四邊形ACNM為平行四邊形，再求出M、N的坐標．
解答：解：（1）∵∠ABO=90°，S_△ABO=1，
∴k=2S_△ABO=2，
故一次函數解析式為y=x+2；反比例函數解析式為y=；
當y=0時，對于x+2=0，x=-2；
C點坐標為（-2，0），
將y=x+2和y=組成方程組得；
，
解得x=-1±，y=1±，
由于交點在第一象限，
故A點坐標為（-1+，1+）．
∴S_△ABC=×BC×AB=×（-1++2）×（1+）=2+；

（2）如圖1，作AN⊥y軸，則AN∥MC，
在OC上截取MC=AN，
故四邊形ANMC為平行四邊形．
∵AN=-1+，
∴MC=-1+，
有∵CO=2，
∴MO=2-1+=1+，
∵ON=AB=1+，
∴N點坐標為（0，1+），M點坐標為（1+，0）．
如圖2，當MN∥AC，MN=AC時，
四邊形ACNM為平行四邊形，
易得，△ABM≌△NOC，
∴AB=NO，
∴N點坐標為（0，1+），
∵△ABC≌△NOM，
∴OM=BC=（-1++2）=1+，
∴M點坐標為（1+，0）．
點評：本題考查了反比例函數綜合題，涉及函數圖象交點坐標與方程組的關系、平行四邊形的判定與性質、三角形的面積公式、反比例函數系數k的幾何意義等知識，旨在考查學生分析問題的能力．