Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=3，AP=1，∠MPN=90°，如圖①，當直角邊PM經過點B時，另一直角邊PN恰好經過點C，將∠MPN從圖①的位置開始，繞點P順時針旋轉，PM交射線BA于點E，PN交邊BC于點F，當點F與點B重合時停止轉動（如圖②），在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

（1）直接寫出：線段BC的長度______；
（2）當點E在線段AB上時．設BE=x，EF²=y，求y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，y值最小．最小值為多少？
（3）在整個運動過程中，∠PEF的大小是否發生變化？請說明理由．
（4）直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=3，AP=1，∠BPC=90°，易證得△ABP∽△DPC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得此時PC的長進而求出BC的長；
（2）首先過點F作FG⊥AD于點G．易證得△APE∽△GFP，求出y關于x的函數關系式，再利用配方法求出函數最值即可；
（3）由相似三角形的對應邊成比例，易求得tan∠PEF==3．即可得∠PEF的大小不發生變化；
（4）如圖2，3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點經過的路線長，也就是△BPC的中位線．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=3，
∴PB=，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴=，
即=．
∴PC=3，
∴線段BC的長度為：BC==10；

（2）如圖1，過點F作FG⊥AD于點G．
∴四邊形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．
∴GF=AB=3，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．
∴△APE∽△GFP，
∴=，
∴=，
∴PG=9-3x，
∴AG=BF=10-3x，
∵EF²=BE²+BF²，
∴y=x²+（10-3x）²，
=10x²-60x+100，
=10（x-3） ²+10．
故當x為3時，y值最小，最小值為10．

（3）∠PEF的大小不變．
理由：由（2）得出∵△APE∽△GFP，
∴===3．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF==3．
即tan∠PEF的值不變．
∴∠PEF的大小不變．

（4）如圖2，圖3所示：
設線段EF的中點為O，連接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O點在線段BP的垂直平分線上，
∴線段EF的中點經過的路線長為O₁O₂=PC=．
故答案為：10．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理以及三角函數的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．