Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90^。． 
 ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為_________，數量關系為__________．
         ②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90^。，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

（1）①垂直；相等；         ②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立          由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90。．              ∵∠BAC=90。，∴∠DAF=∠BAC ，             ∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC ，             ∴△DAB≌△FAC         ∴CF=BD 　　　　              ∠ACF=∠ABD．            ∵∠BAC=90。， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o，            ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD
（2）　 當∠BCA=45o時，CF⊥BD（如圖）．       理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，     ∴AC=AG 可證：△GAD≌△CAF     ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD
（3）當具備∠BCA=45o時，過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖）      ∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，      ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．        設CD=x ，∴ DQ=4-x，      容易說明△AQD∽△DCP，     ∴ ， ∴，     ∴              ∵0＜x≤3 ∴當x=2時，CP有最大值1．