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如圖,矩形ABCD中,點P是線段AD上一動點,O為BD的中點,PO的延長線交BC于Q.
(1)求證:OP=OQ;
(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P從點A出發,以1厘米/秒的速度向D運動(不與D重合).設點P運動時間為t秒,請用t表示PD的長;并求t為何值時,四邊形PBQD是菱形.

【答案】分析:(1)本題需先根據四邊形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB,即可證出OP=OQ.
(2)本題需先根據已知條件得出∠A的度數,再根據AD=8厘米,AB=6厘米,得出BD和OD的長,再根據四邊形PBQD是菱形時,證出△ODP∽△ADB,即可求出t的值,判斷出四邊形PBQD是菱形.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠PDO=∠QBO,
又∵O為BD的中點,
∴OB=OD,
在△POD與△QOB中,

∴△POD≌△QOB(ASA),
∴OP=OQ;

(2)解:PD=8-t,
∵四邊形PBQD是菱形,
∴PD=BP=8-t,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:AB2+AP2=BP2
即62+t2=(8-t)2
解得:t=
即運動時間為秒時,四邊形PBQD是菱形.
點評:本題主要考查了矩形的性質,在解題時要注意與全等三角形、矩形的知識點結合起來是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是BC的中點,DE⊥AM,E是垂足,則△ABM的面積為
 
;△ADE的面積為
 

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A、a≥
1
2
b
B、a≥b
C、a≥
3
2
b
D、a≥2b

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7、如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足為E,∠DAE=2∠BAE,則∠CAE=
30
°.

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3
3
cm.

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(2002•西藏)已知:如圖,矩形ABCD中,E、F是AB邊上兩點,且AF=BE,連結DE、CF得到梯形EFCD.
求證:梯形EFCD是等腰梯形.

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