Question

已知，如圖，線段AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點B、C．
（1）當AB=6，DC=2，BC=8時，點P在線段BC運動，不與點B、C重合．
①若△ABP與△PCD可能全等，請直接寫出的值；
②若△ABP與△PCD相似，求線段BP的長．
（2）探究：設AB=a，DC=b，AD=c，那么當a、b、c之間滿足什么關系時，在直線BC上存在點P，使AP⊥PD？

Answer 1

【答案】分析：（1）①題根據全等三角形的性質即可得出答案，②根據△ABP∽△PCD，利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可求出線段BP的長．
（2）題在一般情形下探究三條線段滿足何種關系，才存在結論AP⊥PD，其探究的方法有多種，這里僅探討順著解第（1）題的思路，貫徹“特殊到一般”的思想，繼續用相似三角形的知識拾階而上來研究．首先，求出BC，再設存在這樣的點P，且BP=x，則PC=-x，由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，則化簡得．
解答：解：（1）∵△ABP≌△PCD，
∴AB=PC=6，
BP=CD=2，
∴==，
②當△ABP∽△PCD，
∴=，
∴=，
解得BP=2，
當△ABP∽△DCP，
∴=，
∴=，
解得BP=6；
∴BP=2或BP=6；

（2）過D作DE⊥AB與E，得CD=BE=b，AE=a-b，
BC=DE==，
設BP=x，
由（1）得△ABP∽△PCD，=，
x²-x+ab=0，
若存在點P，則此方程有實數根，
∴△=c²-（a-b）²-4ab=c²-（a+b）²≥0，
∴c≥a+b
∴c≥a+b時，在直線BC上存在點P，AP⊥PD．
點評：本題可以假設存在，根據相似三角形的性質，利用比例式，找出P點．這是此題的突破點．