Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一個(gè)根為﹣
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：

由圖象開口向下，可知a＜0，

與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，可知c＜0，

又對稱軸方程為x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正確；

由圖象可知當(dāng)x=3時(shí)，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②錯(cuò)誤；

由圖象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正確；

假設(shè)方程的一個(gè)根為x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

兩邊同時(shí)乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一個(gè)根為x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而當(dāng)x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假設(shè)成立，故④正確；

綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè)，

故答案為：C．

拋物線開口由a決定，9a+3b+c可由x=3時(shí)的函數(shù)值看出，由OA=OC可知OA=-c,由圖像知ax2+bx+c=0（a≠0）有一個(gè)根為-c,由根與系數(shù)關(guān)系得-cx2=,另一個(gè)根為.