Question

如圖，已知⊙O的半徑OA⊥OB，C是OB上的一點，AC交⊙O于D，E為OB延長線上一點，且EC=ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若△BCD∽△DCE，OC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）△CED和△OAD都是等腰三角形，根據等邊對等角，可以證得=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°，從而證得ED是圓的切線；
（2）根據相似三角形的性質證得△OED是等腰直角三角形，依據勾股定理即可求得半徑OD的長．
解答：解：（1）證明：連結OD，
∵OD=OA，EC=ED，
∴∠ODA=∠A，∠EDC=∠ECD
又∵∠ECD=∠OCA，
∴∠EDC=∠OCA
又∵OA⊥OB，
∴∠EOA=90°
∠A+∠OCA=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°
∴OD⊥ED
又∵OD為⊥⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線．

（2）設OD=x
∵∠EOA=90°，
∴∠ADB=45°
又∵△BCD∽△DCE，
∴∠E=∠ADB=45°
在Rt△EDO中，OD²+ED²=OB²
又∵∠E=45°，ED=EC=OD=x，OC=1
∴x²+x²=（x+1）²
解這個一元二次方程x²-2x-1=0，得x=1+或x=1-（負值不適合，應舍去），
所以，⊙O的半徑為1+．
點評：本題是切線的判定與性質以及勾股定理、相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確證明△OED是等腰直角三角形是關鍵．