Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為________．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N．首先證明點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設⊙M交MN于C′．求出MN，當點C與C′重合時，△C′DE的面積最小．

解：如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N．

∵AC=CB，AM=OM，
∴MC=OB=1，
∴點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設⊙M交MN于C′．
∵直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），
∴OD=4，OE=3，
∴，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴，
∴，
∴，
當點C與C′重合時，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值，
故答案為2．