Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別是（0，1）和（1，0），P是線段AB上的一動點（不與A、B重合），坐標為（m，1-m）（m為常數）．
（1）求經過O、P、B三點的拋物線的解析式；
（2）當P點在線段AB上移動時，過O、P、B三點的拋物線的對稱軸是否會隨著P的移動而改變；
（3）當P移動到點（

1

2

，

1

2

）時，請你在過O、P、B三點的拋物線上至少找出兩點，使每個點都能與P、B兩點構成等腰三角形，并求出這兩點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線的解析式，根據拋物線經過原點，B點，P點可列出方程求出a，b的值確定解析式；
（2）求出拋物線的對稱軸，可知是個定值，故不變；
（3）可作出對稱軸與x軸的交點為K，過K點作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點，這兩點就符合要求．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
因為拋物線過原點O（0，0）．所以c=0．

a×12+b×1=0 a×m2+b×m=1-m

，

a=- 1 m b= 1 m

．
所以y=-

1

m

x²+

1

m

x；

（2）由（1）可知拋物線的對稱軸是x=-

1 m

2×(- 1 m )

=

1

2

．
所以它不會隨P的移動而改變；

（3）點O（0，0）可滿足．
設拋物線的對稱軸與x軸交于K，過K作PB的垂直平分線交拋物線于Q₁，Q₂兩點，則△Q₁PB，△Q₂PB是等腰三角形．
∵直線PB的解析式為：y=-x+1，
∴Q₁Q₂的解析式是：y=x-

1

2

，拋物線的解析式為：y=-2x²+2x．
所以直線和拋物線的交點Q₁，Q₂兩點的坐標是（

5 +1

4

，

5 -1

4

），（

1- 5

4

，-

5 +1

4

）．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，其中考查了通過坐標來確定二次函數式，求拋物線的對稱軸，以及根據等腰三角形的性質求出坐標．