Question

在矩形ABCD中，點F在AD延長線上，且DF=DC，M為AB邊上一點，N為MD的中點，點E在直線CF上（點E、C不重合）．
（1）如圖1，若AB=BC，點M、A重合，E為CF的中點，試探究BN與NE的位置關系及的值，并證明你的結論；
（2）如圖2，且若AB=BC，點M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的兩個結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若點M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的結論兩個是否成立，請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證四邊形ABCD是正方形，證明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，則BN⊥NE，然后根據三角函數即可利用正方形的邊長表示吃CE的長度，則可以得到的值；
（2）延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE，易證△BMN≌△GDN，則可以證得NE是△BGE邊上的中線，且NE=BG，從而得到△BGE是直角三角形，從而得到BN⊥NE，然后證明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可證得；
（3）同（2）可以延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE，可以證得NE是△BGE邊上的中線，且NE=BG，從而得到△BGE是直角三角形，然后證明△NGE≌△BAN，從而得到BN⊥NE；當AB≠BC時，E，C，D不在一條直線上，因而比值的關系不成立．
解答：解：（1）BN與NE的位置關系是BN⊥NE；=．
證明：如圖，過點E作EG⊥AF于G，則∠EGN=90°．
∵矩形ABCD中，AB=BC，
∴矩形ABCD為正方形．
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°．
∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°．   
∵E為CF的中點，EG∥CD，
∴GF=DG=．
∴．
∵N為MD（AD）的中點，
∴AN=ND=．
∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB．
∴△NGE≌△BAN．
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∴∠BNE=90°．
∴BN⊥NE．      
∵∠CDF=90°，CD=DF，
可得∠F=∠FCD=45°，．
于是．

（2）在（1）中得到的兩個結論均成立．
證明：如圖，延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE，
交CD于點H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CG．
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN．
∵N為MD的中點，
∴MN=DN．
∴△BMN≌△GDN．
∴MB=DG，BN=GN．
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN．
∴∠BEG=90°．               
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°．
∴∠BEG=∠CEH．
∴∠BEC=∠GEH．
由（1）得∠DCF=45°．
∴∠CHE=∠HCE=45°．
∴EC=EH，∠EHG=135°．
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，
∴∠ECB=∠EHG．
∴△ECB≌△EHG．
∴EB=EG，CB=HG．
∵BN=NG，
∴BN⊥NE．
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，
∴=；

（3）BN⊥NE；不一定等于．
證明：可以延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE．GE交AD于點Q．
同（2）可以證得：△BMN≌△GDN，
則BN=NG=NE，則△BEG是直角三角形，∠BEG=90°，
與（2）相同，可證：△ECB≌△ECG，
∴EB=EG，CB=CG．
∵BN=NG，
∴BN⊥NE．
同（2）可得：GQ=CE≠DG=BM，
故不一定等于（只有當Q與D重合時才相等）．
點評：本題是正方形的判定，全等三角形的判定與性質的綜合應用，正確證明邊之間的關系，正確作出輔助線是關鍵．