Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經過O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連接AC交OP于點D，連接BD．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若OB=3，OP=，求線段BC與BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠C=90°，再根據切線的性質得到∠PAO=∠C=90°，由OP∥BC，根據平行線的性質得∠AOP=∠ABC，然后根據相似三角形的判定方法即可得到結論；
（2）利用△ABC∽△POA得到BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：，可計算出BC=4，在Rt△ACB中，根據勾股定理可計算出AC=2，又OD∥BC，O點為AB的中點，得到OD為△ABC的中位線，則CD=AC=，在Rt△BCD中，再根據勾股定理可計算出BD．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O 的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠C，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠ABC，
∴△ABC∽△POA，
（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：，
∴BC=4，
在Rt△ACB中，AC===2，
∵OD∥BC，O點為AB的中點，
∴點D為AC的中點，即CD=AC=，
在Rt△BCD中，BD===．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握直徑所對的圓周角為直角；圓的切線垂直于過切點的半徑；幾何計算中常常運用三角形相似和勾股定理等知識．