Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，AB-AC=2，過點B作∠BAC的平分線的垂線，垂足為D，交AC延長線于點E，則△BCE的面積為

17

+1

．

Answer 1

分析：由△ABC中，∠BAC=90°，得到此三角形為直角三角形，利用勾股定理列出關系式，由AB-AC=2，表示出AB，將表示出的AB與BC的長代入，得到關于AC的一元二次方程，求出方程的解得到AC的長，進而求出AB的長，再由AD為角平分線，得到一對角相等，AD垂直于BE，得到一對直角相等，以及AD為公共邊，利用ASA得出三級愛心哦ABD與三角形AED全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AB=AE，求出AE的長，由AE-AC求出CE的長，此時BA為CE邊上的高，利用三角形的面積公式求出三角形BCE的面積即可．

解答：解：由△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，
根據勾股定理得：BC²=AB²+AC²，即AB²+AC²=36①，
由AB-AC=2，得到AB=AC+2②，
②代入①得：（AC+2）²+AC²=36，
整理得：AC²+2AC-16=0，
解得：AC=-1+

17

或AC=-1-

17

（舍去），
則AB=-1+

17

+2=

17

+1，
∵AD為∠BAE的平分線，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ADB和△ADE中，
∵

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△ADB≌△ADE（ASA），
∴AB=AE=

17

+1，
∴CE=AE-AC=

17

+1-（-1+

17

）=2，
則S_△BCE=

1

2

CE•BA=

1

2

×2×（

17

+1）=

17

+1．
故答案為：

17

+1．

點評：此題考查了勾股定理，一元二次方程的應用，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練運用勾股定理是解本題的關鍵．