Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A（10，0），C（0，6），點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上點E處．

（1）求點E的坐標；

（2）求折痕CD所在直線的函數表達式；

（3）請你延長直線CD交x軸于點F． ①求△COF的面積；

②在x軸上是否存在點P，使S△OCP=S△COF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（8，0）；

（2）y=﹣x+6

（3）①54；②點P的坐標為（6，0）或（﹣6，0）．

【解析】（1）根據折疊的性質知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；

（2）根據OC=6知C（0，6），由折疊的性質與勾股定理，求得D（10，），利用待定系數法求CD所在直線的解析式；

（3）①根據F（18，0），即可求得△COF的面積；②設P（x，0），依S△OCP=S△CDE得×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，求得x的值，即可得出點P的坐標．

（1）如圖，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴BC=OA=10，∠COA=90°，

由折疊的性質知，CE=CB=10，

∵OC=6，

∴在直角△COE中，由勾股定理得OE==8，

∴E（8，0）；

（2）設CD所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵C（0，6），

∴b=6，

設BD=DE=x，

∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，

由勾股定理得AD2+AE2=DE2

即（6-x）2+22=x2，

解得x=，

∴AD=6-=，

∴D（10，），

代入y=kx+6 得，k=-，

故CD所在直線的解析式為：y=-x+6；

（3）①在y=-x+6中，令y=0，則x=18，

∴F（18，0），

∴△COF的面積=×OF×OC=×18×6=54；

②在x軸上存在點P，使得S△OCP=S△COF，

設P（x，0），依題意得

×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，

解得x=±6，

∴在x軸上存在點P，使得S△OCP=S△COF，點P的坐標為（6，0）或（-6，0）．