Question

如圖，已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：

①雙曲線的解析式為y=（x＞0）；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正確的結(jié)論有（　　）

A．1個(gè)  B．2個(gè)   C．3個(gè)  D．4個(gè)

Answer 1

B【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，對角線OB、AC相交于D點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵OB•AC=160，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），

∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的邊長為10，

∴CF===8，

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴OF===6，

∴C（6，8），

∵點(diǎn)D時(shí)線段AC的中點(diǎn)，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即（8，4），

∵雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，

∴4=，即k=32，

∴雙曲線的解析式為：y=（x＞0），故①錯(cuò)誤；

∵CF=8，

∴直線CB的解析式為y=8，

∴，解得x=4，y=8，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），故②錯(cuò)誤；

∵CF=8，OC=10，

∴sin∠COA===，故③正確；

∵A（10，0），C（6，8），

∴AC==4，

∵OB•AC=160，

∴OB===8，

∴AC+OB=4+8=12，故④正確．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關(guān)知識，難度適中．