Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=3，動點M、N分別從D、B同時出發，以1個單位/秒的速度運動，點M沿DA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP．已知動點運動了x秒．
（1）請直接寫出PN的長；（用含x的代數式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，試求△MPA的面積S與時間x秒的函數關系式，利用函數圖象，求S的最大值．
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否為一個等腰三角形？若能，試求出所有x的對應值；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形CPN中，根據CN的長和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底邊AM的長為3-x，關鍵是求出MA邊上的高，可延長NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可現在直角三角形CNP中求出PN的長，進而根據AB的長，表示出PQ的長，根據三角形的面積公式即可得出S與x的函數關系式．根據函數的性質可得出S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分別表示出BN和AM的長，然后根據上述等量關系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根據勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不難得出AP=BN，然后用x表示出AM的長，即可求出x的值．
解答：解：（1）；


（2）延長NP交AD于點Q，則PQ⊥AD，由（1）得：PN=，
則PQ=QN-PN=4-=x依題意，
可得：AM=3-x，S=AM•PQ=（3-x）•=2x-x²=-（x-）²+
∵0≤x≤1
即函數圖象在對稱軸的左側，函數值S隨著x的增大而增大．

∴當x=1時，S有最大值，S_最大值=

（3）△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說明：
①若PM=PA，
∵PQ⊥MA，
∴四邊形ABNQ是矩形，
∴QA=NB=x，
∴MQ=QA=x，
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3x=3，即x=1
②若MP=MA，則MQ=3-2x，PQ=，MP=MA=3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²
∴（3-x）²=（3-2x）²+（x）²，
解得：x=（x=0不合題意，舍去）
③若AP=AM，
由題意可得：AP=x，AM=3-x
∴x=3-x，
解得：x=
綜上所述，當x=1，或x=，或x=時，△MPA是等腰三角形．
點評：本題是點的運動性問題，考查了圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識．（3）題要按等腰三角形腰和底的不同分類討論．