Question

如圖，等腰直角△ABC腰長為a，現分別按圖1，圖2方式在△ABC內內接一個正方形ADFE和正方形PMNQ．設△ABC的面積為S，正方形ADFE的面積為S₁，正方形PMNQ的面積為S₂．

（1）在圖1中，求AD：AB的值；在圖2中，求AP：AB的值；
（2）比較S₁+S₂與S的大小．

Answer 1

分析：（1）圖1：根據等腰三角形的性質求解；圖2：同圖1的證法；
（2）由（1）得出的AB、AD、AP、AB的關系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，這樣就能表示出S₁、S₂和S，然后進行比較即可．

解答：解：（1）圖1中，∵AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2，
圖2中，∵PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；

（2）圖1中，S₁=（

1

2

a）²=

1

4

a2，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ=

2

3

a，
∴S₂=（

2

3

a）²=

2

9

a2，
∴S₁+S₂=（

1

4

+

2

9

）a²=

17

36

a2，
∵S=

1

2

a2=

18

36

a2，
∴S₁+S₂＜S．

點評：此題考查正方形的性質及直角三角形性質的應用．