Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，對角線BD交y軸于點E，AB=

2

，AD=2，AE=

2

3

．
（1）求點B的坐標；
（2）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S_△PBD=S_?ABCD？若存在，請求出該點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠ADE=∠EBO，可根據∠ADE的正切值求出BO，OE的比例關系，然后在直角三角形AOB中，用勾股定理即可求出OB，OE的長，也就得出了B點的坐標．
（2）由（1）可求出OA的長，也就得出了A，D的坐標，然后根據A、B、D三點的坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）可先在x軸上找出一點F（在C點右側）使得S_△FBD=S_?ABCD，那么可得出F點的坐標為（3，0），如果過F點坐標BD的平行線，那么平行線上的點與BD組成的三角形的面積就都與平行四邊形ABCD的面積相等（這些三角形都以BD為底邊，以平行線間的距離為高）．那么P點必為此直線與拋物線的交點，可先求出這條直線的解析式然后聯立拋物線的解析式來求出P點的坐標．（在y軸兩側各有一個類似F的點，如圖）．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BO，
∴△BOE∽△DAE
∴

BO

AD

=

EO

AE

，
即

BO

2

=

EO

2 3

∴BO=3EO
在直角三角形ABO中，由AB²=BO²+AO²，
即（

2

）²=BO²+（

2

3

+

1

3

BO）²．
整理得5BO²+2BO-7=0，
解得BO=1（負值舍去），
∴B（-1，0）．

（2）由（1）知：EO=

1

3

BO=

1

3

，
∴AO=

2

3

+

1

3

=1．
∴A（0，1），D（2，1）
設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、D三點的坐標代入，
得：

c=1 a-b+c=0 4a+2b+c=1

，
解得

a=- 1 3 b= 2 3 c=1

，
y=-

1

3

x²+

2

3

x+1．

（3）①過F（3，0）作FK∥BD交AD延長線于K，可得K（6，1）．
則FK上任一點與BD組成的三角形的面積等于S_?ABCD，
可求得直線FK的解析式為y=

1

3

x-1．
解

y= 1 3 x-1 y=- 1 3 x2+ 2 3 x+1

，
得：

x1=-2 y1=- 5 3

；

x2=3 y2=0

．
②過點F′（-2，1）作F′K′∥BD交x軸于K′，可的K′（-5，0）．
同樣F′K′上的任一點與BD組成的三角形面積等于S_?ABCD．
可求得直線F′K′的解析式為y=

1

3

x+

5

3

．
解

y= 1 3 x+ 5 3 y=- 1 2 x2+ 2 3 x+1

知該方程組無解．
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為（-2，-

5

3

）或（3，0）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、圖形面積的求法、平行四邊形的性質等知識點，綜合性強，能力要求高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．