Question

已知函數f(x)=cosx(

3

sinx+cosx)-

1

2

 (x∈R)
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，

π

2

] 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f(x0)=

5

13

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀ 的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦化簡函數f（x）的解析式為sin(2x+

π

6

)，由此求得函數的最小正周期，再根據2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，求得函數的最大值和最小值．
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+

π

6

)，再根據 2x₀+

π

6

的范圍利用同角三角函數的基本關系求得cos(2x0+

π

6

)的值，再根據cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]，利用兩角差
的余弦公式求得結果．

解答：解：（1）由題知：f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

(2sinxcosx)+

2cos2x-1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，
所以函數f（x） 的最小正周期為π．…（5分）
因為 x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．…（7分）
故當2x+

π

6

=

7π

6

 時，函數f（x）取得最小值為-

1

2

；當2x+

π

6

=

π

2

時，函數f（x）取得最大值為1，故函數在區間[0，

π

2

] 上的最大值為1，最小值為-

1

2

．．…（9分）
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+

π

6

)，又因為f(x0)=

5

13

，
所以sin(2x0+

π

6

)=

5

13

，由x0∈[

π

4

，

π

2

]，得 2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
從而cos(2x0+

π

6

)=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

12

13

．…（12分）
所以cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

 
=-

12

13

•

3

2

+

5

13

•

1

2

=

5-12 3

26

． …（15分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦和余弦公式、二倍角公式、同角三角函數的基本關系的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．