Question

定義：對于兩個雙曲線,,若的實軸是的虛軸，的虛軸是的實軸，則稱,為共軛雙曲線.現給出雙曲線和雙曲線，其離心率分別為.

（1）寫出的漸近線方程（不用證明）；

（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明.

（3）求值：.

 

Answer 1

【答案】

（1）、；（2）是；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）由其圖像很容易知道的漸近線方程即軸和一、三象限的角平分線.從而寫出

的漸近線方程都是：和；（2）先利用漸近線與實軸、虛軸間的關系得到的實軸所在直線為

與虛軸所在直線為.然后計算實軸與雙曲線

的交點，從而得到、 、.同理也可得到的類似數據，從

而得到證明；（3）由上問即可得到，，所以=1 .

試題解析：（1）的漸近線方程都是：和.                3分

（2）雙曲線是共軛雙曲線.                             4分

 證明如下： 對于，實軸和虛軸所在的直線是和的角平分線所

的直線，  所以的實軸所在直線為，

虛軸所在直線為，                        6分

 實軸和的交點到原點的距離的平方.

又，所以 從而得；     8分

同理對于，實軸所在直線為，

虛軸所在直線為，

實軸和的交點到原點的距離的平方

  ，所以，從而得.

綜上所述，雙曲線是共軛雙曲線.                              10分

（3） 由（2）易得，，

 所以=1 .                                                 13分

考點：1.雙曲線的幾何性質；2.共軛雙曲線的定義；3.離心率.