Question

（1）如圖①，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F．
求證：AE=CF．
（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A₁處，點B落在點B₁處，設FB₁交CD于點G，A₁B₁分別交CD，DE于點H，I．
求證：EI=FG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行線的性質，可得∠1=∠2，繼而利用ASA，即可證得△AOE≌△COF，則可證得AE=CF．
（2）根據平行四邊形的性質與折疊性質，易得A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，繼而可證得△A₁IE≌△CGF，即可證得EI=FG．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折疊的性質可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE與△CGF中，
，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．
點評：此題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．