Question

已知關于x的方程（m-1）x²-（2m-1）x+2=0．
（1）求證：無論m取任何實數，方程總有實數根；
（2）若方程只有整數根，求整數m的值．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式△=b²-4ac直接進行判斷即可；
（2）首先計算出方程的解，再根據方程只有整數根，討論m的值．

解答：（1）證明：∵△=[-（2m-1）]²-4×（m-1）×2=4m²-12m+9=（2m-3）²≥0，
∴無論m取任何實數，方程總有實數根；

（2）x=

2m-1± (2m-3)2

2(m-1)

=

2m-1±(2m-3)

2(m-1)

，
x₁=

2m-1+2m-3

2(m-1)

=2，x₂=

2m-1-2m+3

2(m-1)

=

1

m-1

，
∵方程只有整數根，
∴m-1=±1，
解得：m=0或2．

點評：此題主要考查了根的判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．