Question

    如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90⁰，以AB為直徑作⊙O，恰與另一腰CD相切于點E，連接OD、OC、BE．

    (1)求證：OD∥BE；

(2)若梯形ABCD的面積是48，設OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的長．

Answer 1

    (1)證明：連接OE,

    ∵CD是⊙O的切線， ∴OE⊥CD：）

    在Rt△OAD和Rt△OED中，OA=OE, OD=OD，

    ∴Rt△OADcR≌t△OED，  ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，

    在⊙O中，ABE=∠AOE,    ∴∠AOD=∠ABE，    

    ∴OD∥BE                                       

  (2)同理可證：Rt△COE≌Rt△COB．∴∠COE=∠COB=∠BOE,

    ∴∠DOE+∠COE=900，∴△COD是直角三角形，            

    ∵S△DEO=S△DAO, S△COE=S△COB,

    ∴S梯形ABCD =2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC·OD=48，即xy=48，

    又∵x+y= 14，∴x² +y²=(x+y)²-2xy=14²-2×48=100,

    在Rt△COD中,

    即CD的長為10．