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在某個旅游業為主的地區,每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化.現假設該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數f(n)可近似地用函數f(n)=100•(Acos(ωn+2)+k)來刻畫.其中:正整數n表示月份且n∈[1,12],例如n=1時表示1月份;A和k是正整數;ω>0.統計發現,該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律:
①各年相同的月份,該地區從事旅游服務工作的人數基本相同;
②該地區從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人;
③2月份該地區從事旅游服務工作的人數約為100人,隨后逐月遞增直到8月份達到最多.
(1)試根據已知信息,確定一個符合條件的f(n)(2)的表達式;
(2)一般地,當該地區從事旅游服務工作的人數超過400人時,該地區也進入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪幾個月是該地區的旅游“旺季”?請說明理由.
【答案】分析:(1)根據三條規律,知該函數為周期為12的周期函數,進而求得ω,利用規律②可求得函數的最大值和最小值,則可求得三角函數解析式中的振幅A;同時根據n=2時,f(2)的值求得k,則函數的解析式可得.
(2)利用余弦函數的性質根據題意求得cos(n+2)的范圍進而求得n的范圍,根據n∈[1,12],n∈N*,進而求得n的值.
解答:解:(1)根據三條規律,可知該函數為周期函數,且周期為12.
由此可得,
由規律②可知,f(n)max=f(8)=100A+100k,f(n)min
=f(2)=-100A+100kf(8)-f(2)=200A=400⇒A=2;
又當n=2時,
所以,k≈2.99,由條件k是正整數,故取k=3.
綜上可得,符合條件.
(2)由條件,
可得,k∈Z
k∈Z,k∈Z.
因為n∈[1,12],n∈N*,所以當k=1時,6.18<n<10.18,
故n=7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四個月是該地區的旅游“旺季”.
點評:本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題.解題的技巧是從問題中發現周期變化的規律,并將所發現的規律抽象為恰當的三角函數模型.
練習冊系列答案
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①各年相同的月份,該地區從事旅游服務工作的人數基本相同;
②該地區從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人;
③2月份該地區從事旅游服務工作的人數約為100人,隨后逐月遞增直到8月份達到最多.
(1)試根據已知信息,確定一個符合條件的f(n)的表達式;
(2)一般地,當該地區從事旅游服務工作的人數超過400人時,該地區也進入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪幾個月是該地區的旅游“旺季”?請說明理由.

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