Question

在△ABC中，∠A=120°
（Ⅰ）若三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，求△ABC的面積；
（Ⅱ）已知AD是△ABC的中線，若

AB

•

AC

=-2，求|

AD

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出三角形三邊，利用余弦定理求出三邊，即可得到△ABC的面積；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式，即可求|

AD

|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)三邊為a，a-4，a-8（a＞8），--------------（1分）
∵∠A=120°，
∴由余弦定理：a²=（a-4）²+（a-8）²-2（a-4）（a-8）cos120°---------------（2分）
即a²-18a+56=0------------------------（3分）
∴a=14或a=4（舍去）--------------------------------（4分）
∴三邊為14，10，6
∴△ABC的面積為

1

2

×AB×AC×sinA=

1

2

×10×6×

3

2

=15

3

-----------------（6分）
（Ⅱ）∵

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=-2，∠A=120°，----------------------（7分）
∴|

AB

||

AC

|=4----------------------------------（8分）
∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∴|

AD

|2=

1

4

(|

AB

|2+|

AC

|2+2

AB

•

AC

)=

1

4

(|

AB

|2+|

AC

|2-4)
≥

1

4

(2|

AB

||

AC

|-4)=1---------------（10分）
∴|

AD

|min=1----------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，考查向量知識(shí)，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．