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在△ABC中,∠A=120°
(Ⅰ)若三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,求△ABC的面積;
(Ⅱ)已知AD是△ABC的中線,若
AB
AC
=-2
,求|
AD
|
的最小值.
分析:(Ⅰ)設(shè)出三角形三邊,利用余弦定理求出三邊,即可得到△ABC的面積;
(Ⅱ)利用向量的數(shù)量積公式,及三角形中線向量的表示,利用基本不等式,即可求|
AD
|
的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由題意,設(shè)三邊為a,a-4,a-8(a>8),--------------(1分)
∵∠A=120°,
∴由余弦定理:a2=(a-4)2+(a-8)2-2(a-4)(a-8)cos120°---------------(2分)
即a2-18a+56=0------------------------(3分)
∴a=14或a=4(舍去)--------------------------------(4分)
∴三邊為14,10,6
∴△ABC的面積為
1
2
×
AB×AC×sinA=
1
2
×10×6×
3
2
=15
3
-----------------(6分)
(Ⅱ)∵
AB
AC
=|
AB
||
AC
|cosA=-2
,∠A=120°,----------------------(7分)
|
AB
||
AC
|=4
----------------------------------(8分)
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)

|
AD
|2=
1
4
(|
AB
|2+|
AC
|2+2
AB
AC
)
=
1
4
(|
AB
|2+|
AC
|2-4)

1
4
(2|
AB
||
AC
|-4)
=1---------------(10分)
|
AD
|min
=1----------------------------------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查余弦定理,考查向量知識(shí),考查基本不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•臨沂一模)已知函數(shù)f(x)=cos
x
2
-
3
sin
x
2

(I)若x∈[-2π,2π],求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若f(2A-
2
3
π)=
4
3
,sinB=
5
cosC,a=
2
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•煙臺(tái)二模)在△ABC中,a、b、c為角A、B、C所對(duì)的三邊.已知b2+c2-a2=bc
(1)求角A的值;
(2)若a=
3
,設(shè)內(nèi)角B為x,周長(zhǎng)為y,求y=f(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•保定一模)在△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,三邊a、b、c成等差數(shù)列,且B=
π
4
,則(cosA一cosC)2的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c設(shè)向量
m
=(a,cosB),
n
=(b,cosA)且
m
n
m
n

(Ⅰ)若sinA+sinB=
6
2
,求A;
(Ⅱ)若△ABC的外接圓半徑為1,且abx=a+b試確定x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=2,b=
7
,∠B=
π
3
,則△ABC的面積為(  )

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