Question

已知平面上一定點C（2，O）和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且．
（1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）若EF為圓N：x²+（y-1）²=1的任一條直徑，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平面向量數量積的運算性質，得4²=²．設P（x，y），則Q（8，y），運用距離公式化簡可得3x²+4y²=48，整理得+=1，由此可得點P的軌跡是以（±2，0）為焦點的橢圓；
（2）根據題意，得|NE|=|NF|=1且=-，由此化簡得=-1，根據橢圓方程與兩點的距離公式，求出當P的縱坐標為-3時的最大值為20，由此即得=-1的最大值為19．
解答：解：（1）設P的坐標為P（x，y），則Q（8，y）
∵，得：4²=²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化簡得3x²+4y²=48，
∴點P的軌跡方程為+=1，此曲線是以（±2，0）為焦點的橢圓；
（2）∵EF為圓N的直徑，∴|NE|=|NF|=1，且=-
∴=（）•（）=（）•（）=-1
∵點P為橢圓+=1上的點，滿足x²=16-
∵N（1，0），∴=x²+（y-1）²=-（y+3）²+20
∵橢圓+=1上點P縱坐標滿足 y∈[-2，2]
∴當y=-3時，的最大值為20，故=-1的最大值等于19．
點評：本題給出動點P的軌跡，求其方程并研究向量數量積的最大值，著重考查了向量的數量積、橢圓的標準方程與簡單性質和直線與圓等知識，屬于中檔題．