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已知函數, 處取得極小值2

1)求函數的解析式;

2)求函數的極值;

3)設函數, 若對于任意,總存在, 使得, 求實數 的取值范圍.

 

1)函數的解析式為 ;(2時,函數有極小值-2;當時,函數有極大值2 ;(3a的取值范圍是(-,-1]∪[ 3,+).

【解析】

試題分析:(1)根據函數在極值處導函數為0,極小值為2聯立方程組即可求得mn;(2)由(1)求得函數解析式,對函數求導且讓導函數為0,即可求得極大值和極小值;(3)依題意只需即可,當時,函數有最小值-2 ,即對任意總存在,使得的最小值不大于-2 ;而 ,分三種情況討論即可.

試題解析:(1)∵函數處取得極小值2,∴ 1

由②式得m=0n=1,但m=0顯然不合題意 ∴,代入①式得m=4

2

經檢驗,當時,函數處取得極小值2

∴函數的解析式為 4

2)∵函數的定義域為且由(1)有

,解得:

∴當x變化時,的變化情況如下表:

x

(-,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+)

0

+

0

極小值-2

極大值2

時,函數有極小值-2;當時,函數有極大值2 8

3)依題意只需即可.

∵函數時,;在時,

∴ 由(2)知函數的大致圖象如圖所示:

∴當時,函數有最小值-2 10

又對任意總存在,使得 ∴當時,的最小值不大于-2

①當時,的最小值為

②當時,的最小值為

③當時,的最小值為

又∵ ∴此時a不存在

綜上所述,a的取值范圍是(-,-1]∪[3,+)13

考點:導數的應用、函數思想、分類討論思想.

 

練習冊系列答案
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x

2

3

4

5

6

y

1.4

2.3

3.1

3.7

4.5

若由資料可知yx呈線性相關關系,且線性回歸方程為abx,其中已知b1.23,請估計使用年限為20年時,維修費用約為________

 

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從裝有只紅球和只黒球的口袋內任取個球,那么互斥而不對立的兩個事件是(  )

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對具有線性相關關系的變量測得一組數據如下表:

x

2

4

5

6

8

y

20

40

60

80

100

根據上表,利用最小二乘法得到它們的回歸直線方程為.據此模型預測時,的估計值為( )

A. 320 B. 320.5 C. 322.5 D. 321.5

 

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