Question

已知函數, 在處取得極小值2．

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的極值；

（3）設函數， 若對于任意，總存在， 使得， 求實數 的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數的解析式為 ；（2）時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2 ；（3）a的取值范圍是(-∞,-1］∪［ 3,+∞).

【解析】

試題分析：（1）根據函數在極值處導函數為0，極小值為2聯立方程組即可求得m，n；（2）由（1）求得函數解析式，對函數求導且讓導函數為0，即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當時，函數有最小值-2 ，即對任意總存在，使得的最小值不大于-2 ；而 ，分、、三種情況討論即可.

試題解析：（1）∵函數在處取得極小值2，∴ 1分

又 ∴

由②式得m=0或n=1，但m=0顯然不合題意 ∴，代入①式得m=4

∴ 2分

經檢驗，當時，函數在處取得極小值2

∴函數的解析式為 4分

（2）∵函數的定義域為且由（1）有

令，解得：

∴當x變化時，的變化情況如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
	—	0	+	0	—
	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2 8分

（3）依題意只需即可．

∵函數在時，；在時，且

∴ 由（2）知函數的大致圖象如圖所示：

∴當時，函數有最小值-2 10分

又對任意總存在，使得 ∴當時，的最小值不大于-2

又

①當時，的最小值為 ∴得；

②當時，的最小值為 ∴得；

③當時，的最小值為 ∴得或

又∵ ∴此時a不存在

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1］∪［3,+∞)． 13分

考點：導數的應用、函數思想、分類討論思想.